Интерполирование по схеме Эйткена

Итерационные методы интерполирования основаны на повторном применении некоторой простой интерполяционной схемы. Наиболее известным из итерационных методов является метод Эйткена, в основе которого лежит многократное применение линейной интерполяции.

В соответствии со схемой Эйткена линейная интерполяция по точ­кам Mi(xi, yi) и Mi+1(xi+1, yi+1) сводится к вычислению определителя второго порядка

При интерполировании по трем и более точкам последовательно вычисляются многочлены

В общем случае интерполяционныймногочлен n-й степени, прини­мающий в точках xi значения yi(i = ), записываются следующим образом:

(3)

Основным достоинством схемы Эйткена является возможность постепенного увеличения числа используемых значений xi до тех пор, пока последовательные значения P0,1,2,…,n(x) и P1,2,…,n-1(x) не совпа­дут в пределах заданной точности. Иначе говоря, вычисления прекращаются при выполнении условия

|P0,1,2,…,n(x) - P1,2,…,n-1(x)| < e (k f n).

При использовании ЭВМ вычисления по формуле (3) реализуются в виде рекурсивной подпрограммы - функции РХ(I, J) с формальными параметрами I, J, определяющими индексы крайних узлов интерполирования, которые используются для получения значения соответствующего многочлена Pi,i+1,…, j (x).

Для хранения вычисленных значений P(x) используется двумерный массив M размером N*N элементов, где N - максимальное число узлов интерполирования. Каждому возможному значению P(x) соответствует один из элементов M(I, J), расположенный выше главной диагонали (I < J) и определяемый сочетанием индексов крайних узлов интерполирования.

Например, значению многочлена P1,2(x) соответствует элемент M(1,2), значению P2,3,4(x) - элемент M(2, 4) и т.д. Симметричные элементы M(J, I), расположен­ные ниже главной диагонали (J > I), показывают, вычислены ли соот­ветствующие значения P(x) на данный момент, и определяются как

Схема рекурсивной процедуры PX приведена на рис. 1, где Х- массив значений узлов интерполирования, Y- массив значений функциивузлах интерполирования, Z- значение аргумента. Пара­метры X, Y, Z, M должны быть описаны как общие для главной про­граммы и подпрограммы PX.

1.3. Интерполяционные формулы Ньютона

для равноотстоящих узлов

Узлы интерполирования x0, x1, ..., xn называются равноотстоящими, если , гдеh - шаг интерполирования. При этом для некоторой функции f(x) таблично задаются значения yi = f(xi), где xi = x0 + ih.

Существуют две формулы Ньютона для случая равноотстоящих узлов интерполирования, которые называются соответственно первой и второй интерполяционными формулами Ньютона и имеют вид:

;

,

В этих формулах Diyj - конечные разности, где i - порядок разности, j - ее порядковый номер, а параметры t и q определяются следующим образом:

t = (x - x0) / h; q = (x - xn) / h.

Конечные разности первого порядка вычисляются как Dyj = yj+1yj, где
j = , для более высоких порядков используется известная формула

(i = 2, 3, ...; j = ).

Получаемые конечные разности удобно представлять в табличной форме записи, например, в виде табл. 1, которая называется горизонтальной таблицей ко­нечных разностей.

Таблица 1

x y Dy D2y D3y D4y
x0 Y0 Dy0 D2y0 D3y0 D4y0
x1 Y1 Dy1 D2y1 D3y1 D4y1
x2 Y2 Dy2 D2y2 D3y2 -[s1]
x3 Y3 Dy3 D2y3 - -[s2]
x4 Y4 Dy4 - - -[s3]
x5 Y5 - - - -[s4]

Пepвая формула Ньютона применяется для интерполирования впе­ред и экстраполирования назад, т.е. в начале таблицы разностей, где строки заполнены и имеется достаточное число конечных разностей. При использовании этой формулы для интерполирования значение аргумента x должно лежать в интервале [x0, x1]. При этом за x0может приниматься любойузел интерполяции xk с индексом , где m - максимальный порядок конечных разностей.

Вторая формула Ньютона применяется для интерполирования назад и экстраполирования вперед, т.е. в конце таблицы конечных разностей. При этом значение аргумента x должно находиться в интервале [xn-1, xn], причем за xn может приниматься любой узел интерполирования .

Одно из важнейших свойств конечных разностей заключается в следующем. Если конечные разности i–го порядка (i < n) постоянны, то функция представляет собой полином i–й степени. Следовательно, фор­мула Ньютона должна быть не выше i-й степени. При использовании ЭВМ вычисление конечных разностей завершается при выполнении условий

где L - число значащих цифр после запятой в представлении значений функции.

загрузка...

Необходимо отметить, что формулы Ньютона являются видоизменениями формулы Лагранжа. Однако в формуле Лагранжа нельзя пренебречь ни одним из слагаемых, так как все они равноправны и пред­ставляют многочлены
n-й степени. В формулы Ньютона в качестве слагаемых входят многочлены повышающихся степеней, коэффициентами при которых служат конечные разности, разделенные на факториалы. Конечные разности, как правило, быстро уменьшаются, что позволяет в формулах Ньютона пренебречь слагаемыми, коэффициенты при кото­рых становятся малыми. Это обеспечивает вычисление промежуточных значений функции достаточно точно спомощью простых интерполяционных формул.




Ответить

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Вы можете использовать HTML- теги и атрибуты:

<a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>

+ 86 = 89